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Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller positiven Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.cite-ref-0-1-0[1]

Beispiel:

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme von 6 lautet also 1 + 2 + 3 + 6 = 12 {\displaystyle 1+2+3+6=12} .

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

• Definitionen

• Definition 1: Summe aller Teiler

• Definition 2: Summe der echten Teiler

• Definition 3: defizient, abundant, vollkommen

• Eigenschaften der Teilersumme

• Satz 1: Teilersumme einer Primzahl

• Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl

• Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen

• Satz 4: Teilersumme des Produkts von zwei teilerfremden Zahlen

• Satz 5: Teilersumme einer in Primfaktoren zerlegten Zahl

• Satz von Thabit

• Teilersumme als endliche Reihe

• Siehe auch

• Literatur

• Einzelnachweise

Sind t 1 , t 2 , . . . , t k {\displaystyle t_{1},t_{2},...,t_{k}} alle Teiler der natürlichen Zahl n {\displaystyle n} , so nennt man σ σ ( n ) = t 1 + t 2 + ⋯ ⋯ + t k {\displaystyle \sigma (n)=t_{1}+t_{2}+\dotsb +t_{k}} die Teilersumme von n {\displaystyle n} . Dabei sind 1 und n {\displaystyle n} selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion n ↦ ↦ σ σ ( n ) {\displaystyle n\mapsto \sigma (n)} heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:

σ σ ( 6 ) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 {\displaystyle \sigma (6)=1+2+3+6=12} .

Die Summe σ σ ∗ ∗ ( n ) {\displaystyle \sigma ^{*}(n)} der echten Teiler der natürlichen Zahl n {\displaystyle n} ist die Summe der Teiler von n {\displaystyle n} ohne die Zahl n {\displaystyle n} selbst.

Beispiel:

σ σ ∗ ∗ ( 6 ) = 1 + 2 + 3 = 6 {\displaystyle \sigma ^{*}(6)=1+2+3=6} .

Es gilt die Beziehung

σ σ ( n ) − − n = σ σ ∗ ∗ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)-n=\sigma ^{*}(n)} .

Eine natürliche Zahl n > 1 {\displaystyle n>1} heißt

defizient oder teilerarm, wenn σ σ ∗ ∗ ( n ) < n {\displaystyle \sigma ^{*}(n)<n} ,

abundant oder teilerreich, wenn σ σ ∗ ∗ ( n ) > n {\displaystyle \sigma ^{*}(n)>n} ,

vollkommen, wenn σ σ ∗ ∗ ( n ) = n {\displaystyle \sigma ^{*}(n)=n} .cite-ref-2[2]

Beispiele:

σ σ ∗ ∗ ( 6 ) = 1 + 2 + 3 = 6 {\displaystyle \sigma ^{*}(6)=1+2+3=6} , d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.

σ σ ∗ ∗ ( 12 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12 {\displaystyle \sigma ^{*}(12)=1+2+3+4+6=16>12} , d. h. 12 ist abundant.

σ σ ∗ ∗ ( 10 ) = 1 + 2 + 5 = 8 < 10 {\displaystyle \sigma ^{*}(10)=1+2+5=8<10} , d. h. 10 ist defizient.

Für jede Primzahl p {\displaystyle p} gilt

σ σ ( p ) = p + 1 {\displaystyle \sigma (p)=p+1} .

Beweis: Per Definition hat p {\displaystyle p} nur die Teiler 1 {\displaystyle 1} und p {\displaystyle p} . Daraus folgt die Behauptung.

Sei p {\displaystyle p} eine Primzahl und k ∈ ∈ N 0 {\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}} . Dann gilt für die Potenz p k {\displaystyle p^{k}} :

σ σ ( p k ) = ∑ ∑ j = 0 k p j = p k + 1 − − 1 p − − 1 {\displaystyle \sigma (p^{k})=\sum _{j=0}^{k}p^{j}={\frac {p^{k+1}-1}{p-1}}} .

Beweis: Da p {\displaystyle p} eine Primzahl ist, hat p k {\displaystyle p^{k}} nur die Teiler p 0 , p 1 , … … , p k {\displaystyle p^{0},p^{1},\ldots ,p^{k}} . Diese Zahlen bilden eine geometrische Folge. Aus der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe folgt sofort die Behauptung.

σ σ ( 2 3 ) = 2 4 − − 1 2 − − 1 = 16 − − 1 1 = 15 {\displaystyle \sigma (2^{3})={{2^{4}-1} \over {2-1}}={{16-1} \over 1}=15}

σ σ ( 8 ) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 {\displaystyle \sigma (8)=1+2+4+8=15}

Seien a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} verschiedene Primzahlen. Dann gilt

σ σ ( a ⋅ ⋅ b ) = σ σ ( a ) ⋅ ⋅ σ σ ( b ) {\displaystyle \sigma (a\cdot b)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)} .

Beweis: Die Zahl a b {\displaystyle ab} besitzt genau die Teiler 1 , a , b {\displaystyle 1,a,b} und a b {\displaystyle ab} . Daraus folgt

σ σ ( a ⋅ ⋅ b ) = 1 + a + b + a b = ( a + 1 ) ( b + 1 ) = σ σ ( a ) ⋅ ⋅ σ σ ( b ) {\displaystyle \sigma (a\cdot b)=1+a+b+ab=(a+1)(b+1)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)} .

σ σ ( 3 ⋅ ⋅ 5 ) = σ σ ( 15 ) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24 {\displaystyle \sigma (3\cdot 5)=\sigma (15)=1+3+5+15=24}

σ σ ( 3 ) ⋅ ⋅ σ σ ( 5 ) = ( 1 + 3 ) ⋅ ⋅ ( 1 + 5 ) = 4 ⋅ ⋅ 6 = 24 {\displaystyle \sigma (3)\cdot \sigma (5)=(1+3)\cdot (1+5)=4\cdot 6=24}

Sind a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} teilerfremde Zahlen, so gilt

σ σ ( a ⋅ ⋅ b ) = σ σ ( a ) ⋅ ⋅ σ σ ( b ) {\displaystyle \sigma (a\cdot b)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)} .cite-ref-3[3]

Die Teilersummenfunktion ist also multiplikativ.

σ σ ( 4 ⋅ ⋅ 9 ) = σ σ ( 36 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 36 = 91 {\displaystyle \sigma (4\cdot 9)=\sigma (36)=1+2+3+4+6+9+12+18+36=91}

σ σ ( 4 ) ⋅ ⋅ σ σ ( 9 ) = ( 1 + 2 + 4 ) ⋅ ⋅ ( 1 + 3 + 9 ) = 7 ⋅ ⋅ 13 = 91 {\displaystyle \sigma (4)\cdot \sigma (9)=(1+2+4)\cdot (1+3+9)=7\cdot 13=91}

Sei n ∈ ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } mit der Primfaktorzerlegung n = p 1 k 1 ⋅ ⋅ p 2 k 2 ⋅ ⋅ … … ⋅ ⋅ p r k r {\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{k_{r}}} . Dann gilt

σ σ ( n ) = p 1 k 1 + 1 − − 1 p 1 − − 1 ⋅ ⋅ … … ⋅ ⋅ p r k r + 1 − − 1 p r − − 1 {\displaystyle \sigma (n)={\frac {p_{1}^{k_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {p_{r}^{k_{r}+1}-1}{p_{r}-1}}} .cite-ref-4[4]

σ σ ( 84 ) = σ σ ( 2 2 ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⋅ 7 ) = 2 3 − − 1 2 − − 1 ⋅ ⋅ 3 2 − − 1 3 − − 1 ⋅ ⋅ 7 2 − − 1 7 − − 1 = 7 ⋅ ⋅ 4 ⋅ ⋅ 8 = 224. {\displaystyle \sigma (84)=\sigma (2^{2}\cdot 3\cdot 7)={\frac {2^{3}-1}{2-1}}\cdot {\frac {3^{2}-1}{3-1}}\cdot {\frac {7^{2}-1}{7-1}}=7\cdot 4\cdot 8=224.}

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit (benannt nach Thabit ibn Qurra) aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine natürliche Zahl n {\displaystyle n} seien x = 3 ⋅ ⋅ 2 n − − 1 , y = 3 ⋅ ⋅ 2 n − − 1 − − 1 {\displaystyle x=3\cdot 2^{n}-1,y=3\cdot 2^{n-1}-1} und z = 9 ⋅ ⋅ 2 2 n − − 1 − − 1 {\displaystyle z=9\cdot 2^{2n-1}-1} .

Wenn x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} und z {\displaystyle z} Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen a = 2 n x y {\displaystyle a=2^{n}xy} und b = 2 n z {\displaystyle b=2^{n}z} befreundet, d. h. σ σ ∗ ∗ ( a ) = b {\displaystyle \sigma ^{*}(a)=b} und σ σ ∗ ∗ ( b ) = a {\displaystyle \sigma ^{*}(b)=a} .

σ σ ∗ ∗ ( a ) = σ σ ( a ) − − a = σ σ ( 2 n ⋅ ⋅ x ⋅ ⋅ y ) − − a = ( 2 n + 1 − − 1 ) ( x + 1 ) ( y + 1 ) − − a (Satz 4) = ( 2 n + 1 − − 1 ) ( 3 ⋅ ⋅ 2 n ) ( 3 ⋅ ⋅ 2 n − − 1 ) − − 2 n ( 3 ⋅ ⋅ 2 n − − 1 ) ( 3 ⋅ ⋅ 2 n − − 1 − − 1 ) = ( 2 n + 1 − − 1 ) ⋅ ⋅ 9 ⋅ ⋅ 2 2 n − − 1 − − 2 n ( 9 ⋅ ⋅ 2 2 n − − 1 − − 6 ⋅ ⋅ 2 n − − 1 − − 3 ⋅ ⋅ 2 n − − 1 + 1 ) = 2 ⋅ ⋅ 2 n ⋅ ⋅ 9 ⋅ ⋅ 2 2 n − − 1 − − 9 ⋅ ⋅ 2 n ⋅ ⋅ 2 n − − 1 − − 2 n ( 9 ⋅ ⋅ 2 2 n − − 1 − − 9 ⋅ ⋅ 2 n − − 1 + 1 ) = 2 n ( 18 ⋅ ⋅ 2 2 n − − 1 − − 9 ⋅ ⋅ 2 n − − 1 − − 9 ⋅ ⋅ 2 2 n − − 1 + 9 ⋅ ⋅ 2 n − − 1 − − 1 ) = 2 n ( 9 ⋅ ⋅ 2 2 n − − 1 − − 1 ) = 2 n ⋅ ⋅ z = b {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{*}(a)&=\sigma (a)-a\\&=\sigma (2^{n}\cdot x\cdot y)-a\\&=(2^{n+1}-1)(x+1)(y+1)-a\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &&{\text{(Satz 4)}}\\&=(2^{n+1}-1)(3\cdot 2^{n})(3\cdot 2^{n-1})-2^{n}(3\cdot 2^{n}-1)(3\cdot 2^{n-1}-1)\\&=(2^{n+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-6\cdot 2^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2\cdot 2^{n}\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n}\cdot 2^{n-1}-2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}+1)\\&=2^{n}(18\cdot 2^{2n-1}-9\cdot 2^{n-1}-9\cdot 2^{2n-1}+9\cdot 2^{n-1}-1)\\&=2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1)\\&=2^{n}\cdot z\\&=b\end{aligned}}}

Analog zeigt man σ σ ∗ ∗ ( b ) = a {\displaystyle \sigma ^{*}(b)=a} .

Für jede natürliche Zahl n {\displaystyle n} kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von n {\displaystyle n} explizit Bezug genommen wird:

σ σ ( n ) = ∑ ∑ μ μ = 1 n ∑ ∑ ν ν = 1 μ μ cos ⁡ ⁡ 2 π π ν ν n μ μ {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{\mu =1}^{n}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}}}

Beweis: Die Funktion

T ( n , μ μ ) = 1 μ μ ∑ ∑ ν ν = 1 μ μ cos ⁡ ⁡ 2 π π ν ν n μ μ , n = 1 , 2 , … … , μ μ = 1 , 2 , … … {\displaystyle T(n,\mu )={\frac {1}{\mu }}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi {\frac {\nu n}{\mu }},\quad n=1,2,\dots ,\quad \mu =1,2,\dots }

wird 1, wenn μ μ {\displaystyle \mu } ein Teiler von n {\displaystyle n} ist, ansonsten bleibt sie Null.

Sei nämlich μ μ {\displaystyle \mu } ein Teiler von n {\displaystyle n} . Dann ist der Quotient ν ν n μ μ {\displaystyle {\frac {\nu n}{\mu }}} ganzzahlig, somit ist cos ⁡ ⁡ 2 π π ν ν n μ μ {\displaystyle \cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}}} gleich 1. Die Summation über ν ν {\displaystyle \nu } ergibt μ μ {\displaystyle \mu } , woraus T ( n , μ μ ) = 1 {\displaystyle T(n,\mu )=1} folgt.

Sei nun μ μ {\displaystyle \mu } kein Teiler von n {\displaystyle n} . Es gilt dann

T ( n , μ μ ) = 1 μ μ ∑ ∑ ν ν = 1 μ μ cos ⁡ ⁡ 2 π π ν ν n μ μ = 1 μ μ sin ⁡ ⁡ π π n cos ⁡ ⁡ π π ( μ μ + 1 ) n μ μ sin ⁡ ⁡ π π n μ μ = 0. {\displaystyle T(n,\mu )={\frac {1}{\mu }}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos 2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}={\frac {1}{\mu }}{\frac {\sin \pi n\cos {\frac {\pi (\mu +1)n}{\mu }}}{\sin {\frac {\pi n}{\mu }}}}=0.}

Damit ist gezeigt, dass T ( n , μ μ ) {\displaystyle T(n,\mu )} genau dann gleich 1 ist, wenn μ μ {\displaystyle \mu } ein Teiler von n {\displaystyle n} ist, und ansonsten verschwindet.

Multipliziert man jetzt T ( n , μ μ ) {\displaystyle T(n,\mu )} mit μ μ k {\displaystyle \mu ^{k}} und summiert das Produkt über alle Werte μ μ = 1 {\displaystyle \mu =1} bis μ μ = n {\displaystyle \mu =n} , so entsteht nur dann ein Beitrag μ μ k {\displaystyle \mu ^{k}} zur Summe, wenn μ μ {\displaystyle \mu } ein Teiler von n {\displaystyle n} ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion

σ σ k ( n ) = ∑ ∑ μ μ = 1 n μ μ k − − 1 ∑ ∑ ν ν = 1 μ μ cos ⁡ ⁡ 2 π π ν ν n μ μ , k = 0 , ± ± 1 , … … {\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{\mu =1}^{n}\mu ^{k-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {2\pi {\frac {\nu n}{\mu }}},\quad k=0,\pm 1,\dots }

deren Spezialfall k = 1 {\displaystyle k=1} die einfache Teilersumme σ σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} ist.

• Inhaltskette

• Teilermenge

• Paul Erdős, János Surányi: Topics in the Theory of Numbers. (= Undergraduate Texts in Mathematics). 2. Auflage. Springer Verlag, New York, NY (u. a.) 2003, ISBN 0-387-95320-5 (Aus dem Ungarischen übersetzt von Barry Guiduli).

• József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9.

• József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. II. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2004, ISBN 1-4020-2546-7.

• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland, Amsterdam / New York 1988, ISBN 0-444-86662-0.

• Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. Beispiele, Geschichte, Algorithmen. 2. Auflage. Springer, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07170-7.

cite-note-0-11. ↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 35.

cite-note-22. ↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 37.

cite-note-33. ↑ Jochen Ziegenbalg: Elementare Zahlentheorie. 2. Auflage. 2015, S. 36.

cite-note-44. ↑ G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975, ISBN 0-19-853310-1, S. 239.